Question

設(shè)點(diǎn)M為△ABC內(nèi)部（不含邊界）任意一點(diǎn)，△MBC、△MAC和△MAB的面積分別為x、y、z，映射f：M→（x，y，z）使得點(diǎn)M對(duì)應(yīng)有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），記作f（M）=（x，y，z）．若∠BAC=30°，

AB

•

AC

=4

3

且f（M）=（x，y，

1

2

），則

1

x

+

4

y

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：由向量的數(shù)量積公式得|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=4

3

，故|

AB

|•|

AC

|=8，進(jìn)而可得△ABC的面積為2，由題意得，x+y=2-

1

2

=

3

2

，進(jìn)而由基本不等式可得：

1

x

+

4

y

的最小值．

解答： 解：∵∠BAC=30°，

AB

•

AC

=4

3

，
∴由向量的數(shù)量積公式得|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=4

3

，
|

AB

|•|

AC

|=8，
∵S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin∠BAC=2，
由題意得，
x+y=2-

1

2

=

3

2

．
∴

1

x

+

4

y

=

2

3

（

1

x

+

4

y

）（x+y）=

2

3

（5+

y

x

+

4x

y

）≥

2

3

（5+2

y x • 4x y

）=6，
故答案為：6

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的應(yīng)用和向量的數(shù)量積，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．