Question

（2008•黃岡模擬）已知f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a（x∈R）（a為常數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）的最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

分析：利用倍角公式和兩角和的正弦公式，對(duì)解析式化簡(jiǎn)，
（Ⅰ）由三角函數(shù)的周期公式求出函數(shù)的周期；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間得：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求出x的范圍再用區(qū)間表示；
（Ⅲ）由正弦函數(shù)的最值求出此函數(shù)的最值，再結(jié)合條件列出方程，求出a的值．

解答：解：由題意得，
f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a=2sin(2x+

π

6

)+a+1，
（Ⅰ）T=

2π

2

=π，
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得，
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈z），
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
（Ⅲ）∵f（x）_max=2+a+1=a+3，
f（x）_min=-2+a+1=a-1，
∴（a+3）+（a-1）=3，解得a=

1

2

，
則a的值是

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式和兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用，考查了的知識(shí)點(diǎn)較多，需要熟練掌握．