Question

14．志強同學在一次課外研究性學習中發(fā)現(xiàn)以下一系列等式成立：$\frac{1+（\frac{1}{2}）^{2}}{1+{2}^{2}}$=（$\frac{1+\frac{1}{2}}{1+2}$）²，$\frac{1+{4}^{3}}{1+（\frac{1}{4}）^{3}}$=（$\frac{1+4}{1+\frac{1}{4}}$）³，$\frac{{1+{{（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^4}}}{{1+{{（{-\sqrt{2}}）}^4}}}={（{\frac{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{1-\sqrt{2}}}}）^4}$，…，于是他想用符號表示這個規(guī)律，他已經(jīng)寫了一部分，請幫他補充完整，若a，b∈R，b≠1，ab=1，n∈N^*，則$\frac{1+{a}^{n}}{1+^{n}}=（\frac{1+a}{1+b}）^{n}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的等式，分析等式兩邊式子的變化規(guī)律，可得答案．

解答 解：由已知中的等式：
$\frac{1+（\frac{1}{2}）^{2}}{1+{2}^{2}}$=（$\frac{1+\frac{1}{2}}{1+2}$）²，
$\frac{1+{4}^{3}}{1+（\frac{1}{4}）^{3}}$=（$\frac{1+4}{1+\frac{1}{4}}$）³，
$\frac{{1+{{（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^4}}}{{1+{{（{-\sqrt{2}}）}^4}}}={（{\frac{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{1-\sqrt{2}}}}）^4}$，
…，
歸納可得：等式左邊的分子為1+aⁿ，分母為1+bⁿ，
等式右邊的底數(shù)為：$\frac{1+a}{1+b}$，指數(shù)為n，
故得到的一般規(guī)律為：$\frac{1+{a}^{n}}{1+^{n}}=（\frac{1+a}{1+b}）^{n}$，
故答案為：$\frac{1+{a}^{n}}{1+^{n}}=（\frac{1+a}{1+b}）^{n}$

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．