Question

5．已知圓C：x²+y²+6x-8y+21=0．
（1）若直線l₁過(guò)點(diǎn)A（-1，0），且與圓C相切，求直線l₁的方程；
（2）若圓D的半徑為4，圓心D在直線l₂：x-y+5=0上，且與圓C內(nèi)切，求圓D的方程．

Answer 1

分析 （1）將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，先驗(yàn)證斜率不存在是否成立，由點(diǎn)斜式設(shè)直線l的方程，根據(jù)直線與圓相切的條件、點(diǎn)到直線的距離公式列出方程求出斜率，即可確定出直線l的方程；
（2）設(shè)圓心D的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)條件和直線與圓相切的條件、點(diǎn)到直線的距離公式列出方程組，求出a、b的值，即可求出圓D的方程．

解答 解：（1）圓C：x²+y²+6x-8y+21=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x+3）²+（y-4）²=4，
∴圓心C（-3，4），半徑r=2；
①當(dāng)直線l₁斜率不存在時(shí)，直線x=-1滿足題意；
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l₁方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
根據(jù)題意得：圓心C到直線l₁的距離d=r，則$\frac{|-3k-4+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，
解得k=-$\frac{3}{4}$，∴直線l₁方程為3x+4y+3=0，
綜上，直線l₁方程為x=-1或3x+4y+3=0；
（2）設(shè)圓心D的坐標(biāo)為（a，b），且半徑是4，
∵圓心D在直線l₂：x-y+5=0上，且與圓C內(nèi)切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=0}\\{\sqrt{（a+3）^{2}+（b-4）^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴圓D的方程是（x+3）²+（y-2）²=16或（x+1）²+（y-4）²=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓相切的條件，待定系數(shù)法求直線與圓的方程，及點(diǎn)到直線的距離公式，考查方程思想和配方法的應(yīng)用．