Question

19．如圖，圖②為圖①空間圖形的主視圖和側視圖，其中側視圖為正方形．在圖①中，設平面BEF與平面ABCD相交于直線l．
（I）求證：l⊥平面CDE；
（II）在圖①中，線段DE上是否存在點M，使得直線MC與平面BEF所成的角的正弦值等于$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)主視圖和側視圖可得AD⊥DE，AD⊥DC，故而AD⊥平面CDE，根據(jù)AD∥平面BCEF可得AD∥l，故l⊥平面CDE．
（II）以以D為原點，以DA，DC，DE為坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系，設M（0，0，m），求出平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{MC}$的坐標．令|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{MC}$＞|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$解出m，即可判斷M的位置．

解答 證明：（I）由側視圖可知四邊形ADEF是正方形，∴AD∥EF，
又∵EF?面BEF，AD?面BEF，
∴AD∥面BEF
又∵AD?平面ABCD，面ABCD∩面BEF=l，
∴AD∥l，
由主視圖可知，AD⊥CD，由側視圖可知DE⊥AD，
∵AD?平面CDE，CD?平面CDE，AD∩CD=D，
∴AD⊥面CDE，
∴l(xiāng)⊥面CDE．
（II）以D為原點，以DA，DC，DE為坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系，
則A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，2，0）、E（0，0，1）、F（1，0，1）．
設M（0，0，m）（0≤m≤1），
則$\overrightarrow{MC}=（{0，2，-m}）$，$\overrightarrow{EF}=（{1，0，0}），\overrightarrow{BF}=（{0，-1，1}）$
設平面BEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow n=（{0，1，1}）$．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}$=2-m，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{MC}$|=$\sqrt{4+{m}^{2}}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$=$\frac{2-m}{\sqrt{2}\sqrt{4+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得$m=\frac{2}{3}$或m=6（舍）
∴當M為DE的靠近E的三等分點時直線MC與平面BEF所成的角的正弦值等于$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面平行的判定與性質，線面角的計算，屬于中檔題．