Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖2。

（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中點(diǎn)，求CM與平面A₁BE所成角的大��；
（3）線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？說明理由。

Answer 1

解：（1）∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A1D=D，
∴DE⊥平面A₁CD，
又∵A₁C?平面A₁CD，
∴A₁C⊥DE
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D
∴A₁C⊥平面BCDE。
（2）如圖建系C-xyz，
則D（-2，0，0），A（0，0，2），B（0，3，0），E（-2，2，0）
∴，
設(shè)平面A₁BE法向量為
則
∴
∴
∴
又∵M(jìn)（-1，0，），
∴=（-1，0，）
∴
∴CM與平面A1BE所成角的大小45°。

（3）解：設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a，0），
則a∈[0，3]
∴，
設(shè)平面A₁DP法向量為
則
∴
∴
假設(shè)平面A₁DP與平面A₁BE垂直，
則，
∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2
∵0＜a＜3
∴不存在線段BC上存在點(diǎn)P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直。