Question

11．如圖，三棱錐P-ABC的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若$PA=PB=\sqrt{2}$，二面角P-BA-C的大小為60°，則三棱錐P-ABC的外接球的面積等于$\frac{52}{9}π$．

Answer 1

分析 由題意，P在平面ABC中的射影E在∠ACB的平分線上，球心O在平面ABC上的射影為△ABC的外心G，設(shè)OF⊥PE，垂足為E，利用勾股定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，P在平面ABC中的射影E在∠ACB的平分線上，球心O在平面ABC上的射影為△ABC的外心G，設(shè)OF⊥PE，垂足為E，
則PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{2}$
∴R²=OG²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+OG）²，
∴R=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
∴三棱錐P-ABC的外接球的面積等于$\frac{52}{9}π$．
故答案為：$\frac{52}{9}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求三棱錐P-ABC的外接球的面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐P-ABC的外接球的球心是關(guān)鍵．