Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=PB，O為AB的中點，OD⊥PC．
（1）求證：OC⊥PD；
（2）若PD與平面PAB所成的角為30°，AB=2，求四棱錐的P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連結OP，由側面PAB⊥底面ABCD得OP⊥平面ABCD，故OP⊥OC，OP⊥OD，又OD⊥PC，故OD⊥平面OPC，于是OD⊥OC，從而OC⊥平面OPD，于是OC⊥PD；
（2）由側面PAB⊥底面ABCD得AD⊥平面APB，于是∠APD=30°，由直角三角形性質可知AD=1，從而求出棱錐的高OP．

解答 證明：（1）連結OP，
∵PA=PB，O是AB的中點
∴OP⊥AB．
又∵側面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OP?平面PAB，
∴OP⊥平面ABCD，
∵OC?平面ABCD，OD?平面ABCD，
∴OP⊥OD，OP⊥OC，
又∵OD⊥PC，OP?平面OPC，PC?平面OPC，OP∩PC=P，
∴OD⊥平面OPC，
∵OC?平面OPC，
∴OD⊥OC，
又∵OP⊥OC，OP?平面OPD，OD?平面OPD，OP∩OD=O，
∴OC⊥平面OPD，
∵PD?平面OPD，
∴OC⊥PD．
解：（2）取CD中點E，連結OE，
∵OD⊥OC，∴AD=OE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}AB=1$．
∵AD⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PAB，
∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角．
∴∠DPA=30°，∴PA=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，
∴OP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}PO•{S_{ABCD}}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×1×2=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．