Question

1．在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：
先改寫第k項：k（k+1）=$\frac{1}{3}$[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，
由此得1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），
…，
n（n+1）=$\frac{1}{3}$[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．
類比上述方法，請你計算“1×2×3×4+2×3×4×+…+n（n+1）（n+2）（n+3）”，其結(jié)果是$\frac{1}{5}n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）$．（結(jié)果寫出關(guān)于n的一次因式的積的形式）

Answer 1

分析 本題考查的知識點是類比推理，是要根據(jù)已知中給出的在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時化簡思路，對1×2×3×4+2×3×4×+…+n（n+1）（n+2）（n+3）”，）的計算結(jié)果進行化簡，處理的方法就是類比，將n（n+1）（n+2）（n+3）進行合理的分解．

解答 解：∵n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{5}$[n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）-（n-1）n（n+1）（n+2）（n+3]
∴1×2×3×4=$\frac{1}{5}$（1×2×3×4×5-0×1×2×3×4）
2×3×4×5=$\frac{1}{5}$（2×3×4×5×6-1×2×3×4×5）
…
n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{5}$[n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）-（n-1）n（n+1）（n+2）（n+3）]
∴1×2×3×4+2×3×4×5+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{5}$[（1×2×3×4×5-0×1×2×3×4）+（2×3×4×5×6-1×2×3×4×5）+…+n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）-（n-1）n（n+1）（n+2）（n+3）]=$\frac{1}{5}n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）$．
故答案為：$\frac{1}{5}n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）$．

點評 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．