Question

13．“雙曲線C的漸近線為y=±$\sqrt{2}$x”是“雙曲線C的離心率為$\sqrt{3}$”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線漸近線和離心率之間的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
又∵已知兩條漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$a
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
又∵已知兩條漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，b=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則離心率e為$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即充分性不成立，
反之若雙曲線C的離心率為$\sqrt{3}$，則雙曲線不一定是標(biāo)準(zhǔn)方程，故漸近線不一定是y=±$\sqrt{2}$x，即必要性不成立，
故“雙曲線C的漸近線為y=±$\sqrt{2}$x”是“雙曲線C的離心率為$\sqrt{3}$”的既不充分也不必要條件，
故選：D．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)雙曲線漸近線和離心率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．