Question

18．證明下列兩個結(jié)論：
（1）當(dāng)點（x₀，y₀）在圓x²+y²=r²上時，切線方程為x₀x+y₀y=r²．
（2）當(dāng)點（x₀，y₀）在（x-a）²+（y-b）²=r²上時，切線方程為（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

Answer 1

分析 討論切線的斜率存在和不存在，由直線的點斜式方程即可得到切線方程．

解答 證明：（1）當(dāng)切線的斜率k存在時，設(shè)切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
又因為k=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
故切線方程為y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），即有x₀x+y₀y=r²．
當(dāng)k不存在時，切點坐標(biāo)為（±r，0），對應(yīng)切線方程為x=±r，符合x₀x+y₀y=r²，
綜上，切線方程為x₀x+y₀y=r²；
（2）當(dāng)切線的斜率k存在時，設(shè)切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
又因為k=-$\frac{{x}_{0}-a}{{y}_{0}-b}$．
故切線方程為y-y₀=-$\frac{{x}_{0}-a}{{y}_{0}-b}$（x-x₀），即有（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．
當(dāng)k不存在時，切線方程為x=r-a或x=a-r，符合（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²，
綜上，切線方程為（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

點評 本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及直線和圓相切的問題，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．