Question

20．觀察下面的解答過程：已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，求$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$的最大值．
解：∵$\sqrt{2a+1}$•$\sqrt{2}$≤$\frac{（\sqrt{2a+1}）^{2}+{\sqrt{2}}^{2}}{2}$=a+$\frac{3}{2}$，$\sqrt{2b+1}$•$\sqrt{2}$≤$\frac{{\sqrt{2b+1}}^{2}{+\sqrt{2}}^{2}}{2}$=b+$\frac{3}{2}$，
相加得$\sqrt{2a+1}$•$\sqrt{2}$+$\sqrt{2b+1}$•$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$•（$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$）≤a+b+3=4，
∴$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤2$\sqrt{2}$，等號(hào)在a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)取得，即$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$的最大值為2$\sqrt{2}$．
請(qǐng)類比以上解題法，使用綜合法證明下題：
已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=3，求$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$+$\sqrt{2z+1}$的最大值．

Answer 1

分析 利用基本不等式，結(jié)合類比思想，再相加，即可求$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{2y+1}$+$\sqrt{2z+1}$的最大值．

解答 證明：∵$\sqrt{2x+1}•\sqrt{3}≤\frac{（2x+1）+3}{2}=x+2$，…（2分）
$\sqrt{2y+1}•\sqrt{3}≤\frac{（2y+1）+3}{2}=y+2$．…（4分）
$\sqrt{2z+1}•\sqrt{3}≤\frac{（2z+1）+3}{2}=z+2$．…（6分）
∴$\sqrt{2x+1}•\sqrt{3}+\sqrt{2y+1}•\sqrt{3}+\sqrt{2z+1}•\sqrt{3}≤（x+2）+（y+2）+（z+2）\\=x+y+z+6.\end{align}$…（8分）
因?yàn)閤+y+z=3，所以$\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1}≤\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$．…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)在x=y=z=1時(shí)取得．
即$\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1}$得最大值為$3\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查類比思想，同時(shí)給出一個(gè)最值的求法，比較新穎．