Question

10．在（x+$\root{3}{2}$y）⁸的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的所有系數(shù)之和為225．

Answer 1

分析 根據(jù)二項式展開式的通項公式，求出展開式的系數(shù)為有理數(shù)的項，再求它們所有系數(shù)之和．

解答 解：（x+$\root{3}{2}$y）⁸的展開式中，通項公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\root{3}{2}y）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•y^r•${2}^{\frac{r}{3}}$；
要使展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則r必為3的倍數(shù)，
所以r可為0，3，6共3種，
所以系數(shù)為有理數(shù)的項的所有系數(shù)之和為
${C}_{8}^{0}$+${C}_{8}^{3}$•2+${C}_{8}^{6}$•2²=225．
故答案為：225．

點評 本題考查了利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，是基礎題目．