Question

10．在（x+$\root{3}{2}$y）⁸的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的所有系數(shù)之和為225．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出展開(kāi)式的系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)，再求它們所有系數(shù)之和．

解答 解：（x+$\root{3}{2}$y）⁸的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\root{3}{2}y）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•y^r•${2}^{\frac{r}{3}}$；
要使展開(kāi)式的系數(shù)為有理數(shù)，則r必為3的倍數(shù)，
所以r可為0，3，6共3種，
所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的所有系數(shù)之和為
${C}_{8}^{0}$+${C}_{8}^{3}$•2+${C}_{8}^{6}$•2²=225．
故答案為：225．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．