Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=$\sqrt{3}$，E，F(xiàn)，G分別是BC，PB，AD上的點(diǎn)，且AF⊥PC，AG=2GD．
（1）當(dāng)BE為何值時(shí)，F(xiàn)G∥平面PDE；
（2）當(dāng)BE為何值時(shí)，二面角C-PE-D的平面角為45°．

Answer 1

分析 （1）先分別以AD，AB，AP三直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以確定A，B，C，D，P五點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件AF⊥PC，AG=2GD即可求出點(diǎn)F，G的坐標(biāo)，并且能夠判斷出F點(diǎn)為PB的中點(diǎn)．而要使FG∥平面PDE，需找過(guò)FG的平面和平面PDE的交線(xiàn)，并使得FG和該交線(xiàn)平行，這時(shí)候取PE中點(diǎn)H，連接FH，DH，從而需FG∥HD，這樣即可得到BE=$\frac{2}{3}$BC，從而求出BE的值；
（2）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可以說(shuō)明$\overrightarrow{AF}$是平面CPE的法向量，可設(shè)$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$是平面DPE的法向量，設(shè)E（x₂，1，0），而根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$即可用x₂表示$\overrightarrow{n}$，根據(jù)二面角C-PE-D的平面角為45°，便可得到cos45°=cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AF}$＞，從而求出x₂，即求出BE．

解答 解：（1）根據(jù)已知條件知AD，AB，AP三直線(xiàn)兩兩垂直，所以：
分別以這三直線(xiàn)為x，y，z軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
A（0，0，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，1）；
∵G在邊AD上，AG=2GD；
∴$G（\frac{2\sqrt{3}}{3}，0，0）$；
F在棱PB上，∠PBA=45°，∴設(shè)F（0，y₁，1-y₁），又AF⊥PC；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PC}=0$；
∴y₁+y₁-1=0；
∴${y}_{1}=\frac{1}{2}$；
∴$F（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
即F為PB中點(diǎn)；
取PE中點(diǎn)H，連接FH，DH，則FH∥GD；
∴要使FG∥平面PDE，則FG∥HD；
∴四邊形FHDG為平行四邊形；
又FH為△PBE的中位線(xiàn)；
∴$FH=\frac{1}{2}BE=GD$；
∵$GD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}BC$；
∴$BE=\frac{2}{3}BC$；
∴$BE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
即BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，F(xiàn)G∥平面PDE；
（2）AF⊥PC；
又F為PB中點(diǎn)，AB=PA；
AF⊥PB，PB∩PC=P；
∴AF⊥平面PBC；
∴$\overrightarrow{AF}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$為平面CPE的法向量；
E在BC上，設(shè)E（x₂，1，0），設(shè)平面DPE的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PD}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x{•x}_{2}+y-z=0}\\{\sqrt{3}x-z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=（\sqrt{3}-{x}_{2}）x}\\{z=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，取x=1，∴$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{3}-{x}_{2}，\sqrt{3}）$；
∵二面角C-PE-D的平面角為45°；
∴$cos＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{2}{x}_{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{4+（\sqrt{3}-{x}_{2}）^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴解得${x}_{2}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$；
∴BE=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$時(shí)，二面角C-PE-D的平面角為45°．

點(diǎn)評(píng) 考查線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的判定定理，線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決二面角問(wèn)題的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，平面法向量的概念及求法，非零向量垂直的充要條件，二面角平面角的定義，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．