Question

11．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)A（2，$\sqrt{2}$）在橢圓上，且AF₂與x軸垂直，求過(guò)A作直線與橢圓交于另外一點(diǎn)B，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 由題意求出橢圓方程，然后求出和OA平行且和橢圓相切的直線方程，把切點(diǎn)到直線OA的距離轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)O到切線的距離，則三角形AOB面積的最大值可求．

解答 解：由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}+^{2}=4}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
則B為橢圓上除（$2，\sqrt{2}$），（-2，-$\sqrt{2}$）外的點(diǎn)．
要使△AOB面積最大，則B到OA所在直線距離最遠(yuǎn)，
設(shè)與OA平行的直線方程為$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+b$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y并化簡(jiǎn)得${x}^{2}+\sqrt{2}bx+^{2}-4=0$．
由$△=（\sqrt{2}b）^{2}-4（^{2}-4）=0$，解得b=±$2\sqrt{2}$．
不妨取b＞0，
∴與直線OA平行，且與橢圓相切且兩直線方程為：$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$．
化為一般式得：$\sqrt{2}x-2y+4\sqrt{2}=0$．
則B到直線OA的距離等于O到直線$\sqrt{2}x-2y+4\sqrt{2}=0$的距離，等于$\frac{|4\sqrt{2}|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-2）^{2}}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
又|OA|=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$．
∴△AOB面積的最大值為$S=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．