Question

8．春節(jié)期間，某微信群主發(fā)60個(gè)隨機(jī)紅包（即每個(gè)人搶到的紅包中的錢(qián)數(shù)是隨機(jī)的，且每人只能搶一個(gè)），紅包被一搶而空，后據(jù)統(tǒng)計(jì)，60個(gè)紅包中錢(qián)數(shù)（單位：元）分配如下頻率分布直方圖所示（其分組區(qū)間為[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．
（1）試估計(jì)該群中某成員搶到錢(qián)數(shù)不小于3元的概率；
（2）若群主在只搶到2元以下的幾人中隨機(jī)選擇3人拜年，則選中的三人中搶到錢(qián)數(shù)在1元以下的人數(shù)為X，試求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出；
（2）搶到1元以下人數(shù)為：0.05×60=3，搶到2元以下且1元（包括1元）以上的有0.20×60=12人．群主在只搶到2元以下的15人中隨機(jī)選擇3人拜年，則選中的三人中搶到錢(qián)數(shù)在1元以下的人數(shù)為X=0，1，2，3，利用“超幾何分布”的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望即可公式即可得出．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可得：1×（0.05+0.20+0.40+t+0.10）=1，解得t=0.25，
∴該群中某成員搶到錢(qián)數(shù)不小于3元的概率P=1×（0.25+0.10）=0.35；
（2）搶到1元以下人數(shù)為：0.05×60=3，搶到2元以下且1元（包括1元）以上的有0.20×60=12人．
群主在只搶到2元以下的15人中隨機(jī)選擇3人拜年，則選中的三人中搶到錢(qián)數(shù)在1元以下的人數(shù)為X=0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{∁}_{12}^{3}}{{∁}_{15}^{3}}$=$\frac{44}{91}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{12}^{2}}{{∁}_{15}^{3}}$=$\frac{198}{455}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{12}^{1}}{{∁}_{15}^{3}}$=$\frac{36}{455}$，P（X=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{15}^{3}}$=$\frac{1}{455}$．
∴X的分布列為：

x	0	1	2	3
p	$\frac{44}{91}$	$\frac{198}{455}$	$\frac{36}{455}$	$\frac{1}{455}$

∴E（X）=$0×\frac{44}{91}+1×\frac{198}{455}$+$2×\frac{36}{455}$+3×$\frac{1}{455}$=$\frac{273}{455}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、“超幾何分布”的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．