Question

1．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$$∥\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{c}$；
（2）若|$\overrightarrow$|=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，則|$\overrightarrow{c}$|=|λ||$\overrightarrow{a}$|，求出λ，即可求向量$\overrightarrow{c}$；
（2）利用$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，根據(jù)數(shù)量積公式，即可求向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，∴|$\overrightarrow{c}$|=|λ||$\overrightarrow{a}$|，
∵$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
∴2$\sqrt{5}$=|λ|•$\sqrt{5}$
∴λ=±2，
∴$\overrightarrow{c}$=（2，4）或（-2，-4）；
（2）∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
∴2$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow$²+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴10-$2×\frac{45}{4}$+3$\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{5}}{2}$cosθ=0，
∴cosθ=$\frac{5}{9}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角的余弦值為$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵．