Question

11．已知直線ax-by+2=0，被圓x²+y²+4x-4y-1=0截得弦長為6，求$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$的最小值．

Answer 1

分析 圓可化為（x+2）²+（y-2）²=7，表示以M（-2，2）為圓心，以$\sqrt{7}$為半徑的圓，由題意可得，圓心在直線axax-by+2=0上，得到a+b=1，用“1”的代換，利用基本不等式求得式子的最小值．

解答 解：圓x²+y²+4x-4y+1=0，即（x+2）²+（y-2）²=9，表示以M（-2，2）為圓心，以3為半徑的圓，
由題意可得，圓心在直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，故-2a-2b+2=0，
即a+b=1，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$=（a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$≥5+2$\sqrt{6}$
當且僅當$\frac{2}{a}$=$\frac{3}$時，等號成立，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$的最小值為5+2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，以及基本不等式的應用，得到a+b=1，是解題的關鍵．