Question

14．設(shè)點P是函數(shù)y=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上任意一點，過點P分別向直線y=x和y軸作垂線，垂足分別為A，B，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-2．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，x+$\frac{4}{x}$）（x＞0），可得|PA|、|PB|，由O、A、P、B四點共圓，可得∠APB=$\frac{3π}{4}$，由數(shù)量積定義可求．

解答 解：設(shè)P（x，x+$\frac{4}{x}$）（x＞0），則點P到直線y=x和y軸的距離分別為：
|PA|=$\frac{|\begin{array}{l}{x-（x+\frac{4}{x}）}\end{array}|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$，|PB|=x．
∵O、A、P、B四點共圓，所以∠APB=π-∠AOB=$\frac{3π}{4}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$•x•cos$\frac{3π}{4}$=-2，
故答案為：-2．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，涉及點到直線的距離公式和四點共圓的性質(zhì)，屬中檔題．