Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，0），B（4，3），若A，B，C三點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列構(gòu)成等邊三角形ABC，且直線BC與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由條件求得cos∠BAD 和sin∠BAD 的值，再根據(jù)cos∠CAD=cos（60°+∠BAD ），利用兩角和的余弦公式求得結(jié)果．
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），求得$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)，再根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幾何意義，求得a、b的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可得等邊三角形的邊長AB=5，cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，
sin∠BAD=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠CAD=
cos（60°+∠BAD ）=
cos60°cos∠BAD
-sin60°sin∠BAD
=$\frac{1}{2}•\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{3}{5}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），則$\overrightarrow{AC}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)為a+bi，
$\overrightarrow{AB}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4+3i，
由A，B，C三點(diǎn)按順時(shí)針方向排列構(gòu)成等邊三角形ABC，
可得a+bi=（4+3i）（cos60°+isin60°）=2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+（$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$）i，
∴a=2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ 2-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的余弦公式，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幾何意義，屬于中檔題．