Question

12．已知集合A={x∈R|ax²-2x+1=0}
（1）若集合A中只有一個(gè)元素，用列舉法寫出集合A；
（2）若集合A中至多只有一個(gè)元素，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用描述法表示的集合元素個(gè)數(shù)問題，用到一元方程解的個(gè)數(shù)，用判別式與零的關(guān)系，當(dāng)方程有一個(gè)解時(shí)，判別式等于零．
（2）A中至多只有一個(gè)元素包含只有一個(gè)根或無根，只有一個(gè)根包含兩種情況：一次方程或二次方程只有一個(gè)根，二次方程根的個(gè)數(shù)通過判別式為0；無根時(shí)，判別式小于0，解得．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，A={$\frac{1}{2}$}；
當(dāng)a≠0時(shí)，若集合A只有一個(gè)元素，由一元二次方程判別式
△=4-4a=0得a=1．此時(shí)A={1}
綜上，當(dāng)a=0時(shí)，A={$\frac{1}{2}$}．
當(dāng)a=1時(shí)，A={1}；
（2）∵A中至多只有一個(gè)元素，∴A中只有一個(gè)元素，或A=∅．
若A中只有一個(gè)元素，則當(dāng)a=0時(shí)，A={x|-2x+1=0}={$\frac{1}{2}$}，符合條件；
當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax²-2x+1=0為一元二次方程，要使A中只有一個(gè)元素，
則方程ax²-2x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以△=4-4a=0⇒a=1．
所以，a的值為0或1．
若A=∅，則方程ax²-2x+1=0無實(shí)數(shù)解，所以△=4-4a＜0⇒a＞1．
所以，a≥1或a=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的表示法．解題時(shí)容易漏掉a≠0的情況，當(dāng)方程，不等式，函數(shù)最高次項(xiàng)系數(shù)帶有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)情況進(jìn)行討論．