Question

14．給出下列命題：
①若等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₁₀₀，S₂₀₀-S₁₀₀，S₃₀₀-S₂₀₀成等比數(shù)列；
②已知等差數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為A_n，B_n，且滿足$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n}{n+3}$，則$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{12}}{_{2}+_{4}+_{9}}$=$\frac{3}{2}$；
③已知點P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距離相等，則2^x+4^y的最小值為4$\sqrt{2}$
④若關(guān)于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集為R，則a的取值范圍為（-$\frac{3}{5}$，-1）．
⑤若b²=ac且cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB，則B=$\frac{π}{3}$．
其中正確的是②③⑤你認(rèn)為正確的命題序號都填上）．

Answer 1

分析 ①利用特殊值法舉一個反例即可得到結(jié)論．
②根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式進行轉(zhuǎn)化求解
③根據(jù)基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用進行判斷，
④根據(jù)特殊值法舉一個反例進行判斷．
⑤利用正弦定理以及兩角和差的余弦公式進行化簡求解即可、

解答 解：①若等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₁₀₀，S₂₀₀-S₁₀₀，S₃₀₀-S₂₀₀成等比數(shù)列不一定正確，比如
a_n=（-1）²，滿足數(shù)列是等比數(shù)列，但S₁₀₀=0，S₂₀₀-S₁₀₀=0，S₃₀₀-S₂₀₀=0，不能構(gòu)成等比數(shù)列，故①錯誤，
②已知等差數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為A_n，B_n，且滿足$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n}{n+3}$，
設(shè)等差數(shù)列{a_n}，{b_n}公差分別為d，b，
則$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{12}}{_{2}+_{4}+_{9}}$=$\frac{3{a}_{1}+12d}{3_{1}+12b}$=$\frac{{a}_{1}+4d}{_{1}+4b}$=$\frac{{a}_{5}}{_{5}}$=$\frac{2{a}_{5}}{2_{5}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{9}}{_{1}+_{9}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}+{a}_{9}}{2}×9}{\frac{_{1}+_{9}}{2}×9}$=$\frac{{A}_{9}}{{B}_{9}}$=$\frac{2×9}{9+3}$=$\frac{18}{12}$=$\frac{3}{2}$；故②正確，
③∵P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距離相等，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-4）^{2}}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，整理得x+2y=3，
2^x+4^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{4}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+2y}}$=2$\sqrt{{2}^{3}}$=4$\sqrt{2}$，即2^x+4^y的最小值為4$\sqrt{2}$正確，故③正確，
④若關(guān)于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集為R，
則當(dāng)a=1時，不等式等價為-1＜0．也成立，故④錯誤，
⑤b²=ac，則sin²B=sinAsinC．由cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB=$\frac{3}{2}$+cos（A+C），化為：sinAsinC=$\frac{3}{4}$．∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又B∈（0，π），則B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$，由b²=ac，可知：B不是最大角，因此是銳角，∴B=$\frac{π}{3}$，故⑤正確，
故答案為：②③⑤

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．