Question

2．已知f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$（$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$），則f（x）的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\frac{14}{3}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 由$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$，可得1-x＞0，則f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$=[x+（1-x）]（$\frac{\frac{1}{2}}{x}$+$\frac{2}{1-x}$），展開后，運用基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：由$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$，可得1-x＞0，
f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$
=[x+（1-x）]（$\frac{\frac{1}{2}}{x}$+$\frac{2}{1-x}$）
=$\frac{1}{2}$+2+$\frac{2x}{1-x}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-x）}{x}$
≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2x}{1-x}•\frac{1-x}{2x}}$=$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，
當且僅當2x=1-x，即為x=$\frac{1}{3}$，可得最小值為$\frac{9}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．