Question

15．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足下列條件：a_n=6•2^n-1-2，b₁=1，a_n=b_n+1-b_n
（Ⅰ）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）比較a_n與2b_n的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過b_n+1-b_n=6•2^n-1-2，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）計(jì)算即可；
（Ⅱ）通過計(jì)算可得2b_n-a_n=3•2ⁿ-4（n+1），記c_n=$\frac{3•{2}^{n}}{4（n+1）}$，利用$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1＞0可得數(shù)列{c_n}為遞增數(shù)列，分n＞2、n=1、n=2三種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知，b_n+1-b_n=6•2^n-1-2，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+（6×1-2）+（6×2-2）+…+（6×2^n-2-2）
=1+6（1+2+…+2^n-2）-2（n-1）
1+6•$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$-2（n-1）
=6•2^n-1-2n-3；
（Ⅱ）由題意可得2b_n-a_n=6•2^n-1-4（n+1）
=3•2ⁿ-4（n+1），
設(shè)c_n=$\frac{3•{2}^{n}}{4（n+1）}$，則$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1=$\frac{\frac{3•{2}^{n+1}}{4（n+2）}}{\frac{3•{2}^{n}}{4（n+1）}}$-1=$\frac{2（n+1）}{n+2}$-1=$\frac{n}{n+2}$＞0，
∴c_n+1＞c_n，即數(shù)列{c_n}為遞增數(shù)列，
當(dāng)n＞2時(shí)，c_n＞c₂=1，∴3•2ⁿ＞4（n+1），
于是2b_n-a_n＞0，即a_n＜2b_n，
易知當(dāng)n=1時(shí)，a_n＞2b_n，當(dāng)n=2時(shí)a_n=2b_n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．