Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.

（1）求的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式成立的最小的正整數(shù).

（3）設(shè).若數(shù)列單調(diào)遞增.

①求的取值范圍.

②若是符合條件的最小正整數(shù)，那么中是否存在三項(xiàng)依次成等差數(shù)列?若存在，給出的值.若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)不存在，證明見詳解.

【解析】

（1）計(jì)算基本量，寫出通項(xiàng)公式；

（2）由（1）中的，求得以及，進(jìn)而求解不等式即可；

（3）①由，即可求得；②采用反證法，推證矛盾.

（1）設(shè)的公差為，因?yàn)?/span>故：，

又，解得：，故該數(shù)列通項(xiàng)公式為：

（2）由，可得：，，

故=

則 =

= =

=

=

若使得其滿足 ，且為正整數(shù)，故解得：

，故取使得不等式成立.

（3）由（1）可知=

①因?yàn)閿?shù)列為增數(shù)列，故恒成立

等價(jià)于：

整理得：，

即：恒成立，又，

故，即.

②由①可知，此時(shí), 故,

假設(shè)存在三項(xiàng)依次成等差數(shù)列，則

，即： ①

因?yàn)?/span>，且均為整數(shù)，故：

，，

故：，即

②

又因?yàn)?/span> ③

由②③可得：

，與①矛盾，

故假設(shè)不成立，即不存在三項(xiàng)依次成等差數(shù)列.