Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a_n=2^b_n+1，{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)能求出b_n=1+（n-1）×1=n．
（2）由a_n=2^b_n+1，b_n=n，能求出a_n=2ⁿ+1．
（3）利用分組求和法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴b_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵a_n=2^b_n+1，b_n=n，
∴a_n=2ⁿ+1．
（3）∵a_n=2ⁿ+1，
∴S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+n
=

2(1-2n)

1-2

+n
=2ⁿ⁺¹+n-2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．