Question

11．已知直線l過點M（1，2），且分別交x軸的正半軸、y軸的正半軸于點A，B，其中O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積為多少時，直線l有兩條？

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$（a，b＞0）．把點M（1，2）代入可得$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，即b+2a=ab，$S=\frac{1}{2}ab$，可得a²-Sa+S=0，可得△＞0，a₁+a₂=S＞0，a₁a₂=S＞0．解出即可．

解答 解：設(shè)直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$（a，b＞0）．
把點M（1，2）代入可得$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，即b+2a=ab，
∵$S=\frac{1}{2}ab$，
化為a²-Sa+S=0，（*）
可得△=S²-4S＞0，a₁+a₂=S＞0，a₁a₂=S＞0．
解得0＜S＜4．
因此當(dāng)且僅當(dāng)0＜S＜4時，方程（*）有兩解，因此直線l有兩條．

點評 本題考查了直線的截距式、三角形的面積計算公式、一元二次方程的解與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．