Question

6．設(shè)P，Q為一個(gè)正方體表面上的兩點(diǎn)，已知此正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜2π）角后能與自身重合，那么符合條件的直線PQ有13條．

Answer 1

分析 由正方體自身的對稱性可知，若正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜2π）角后能與自身重合，則PQ比過正方體中心，由此分三種情況，即P，Q為正方體一體對角線兩頂點(diǎn)時(shí)，P，Q為正方兩相對棱中點(diǎn)時(shí)，P，Q為正方體對面中心時(shí)求得符合條件的直線PQ的條數(shù)．

解答 解：若正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜2π）角后能與自身重合，則PQ比過正方體中心，否則，正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原來的位置．
共有三種情況：如圖，

當(dāng)P，Q為正方體一體對角線兩頂點(diǎn)時(shí)，把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)$\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}$，正方體回到原來的位置，此時(shí)直線共有4條；
當(dāng)P，Q為正方兩相對棱中點(diǎn)時(shí)，把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)π，正方體回到原來的位置，此時(shí)直線共有6條；
當(dāng)P，Q為正方體對面中心時(shí)，把正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{2}，π，\frac{3π}{2}$，正方體回到原來的位置，此時(shí)直線共有3條．
綜上，符合條件的直線PQ有4+6+3=13條．
故答案為：13．

點(diǎn)評 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題．