Question

2．甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為$\frac{1}{3}$，乙獲勝的概率為$\frac{2}{3}$，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；
（2）若每局比賽勝利方得1分，對(duì)方得0分，求甲最終總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 解用A表示“乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，A_k表示“第k局乙獲勝”，B_k表示“第k局甲獲勝”，
（Ⅰ）P（A）=P（A₁A₂）+P（B₁A₁A₂）+P（A₁B₂A₃A₄）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率乘積求解即可．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3 求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：用A表示“乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，A_k表示“第k局乙獲勝”，B_k表示“第k局甲獲勝”，則 （Ⅰ）P（A）=P（A₁A₂）+P（B₁A₁A₂）+P（A₁B₂A₃A₄）
=P（A₁A₂）+P（B₁）P（A₁）P（A₂）+P（A₁）P（B₂）P（A₃）P（A₄）
=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{56}{81}$        …（4分）
（Ⅱ）甲最終總得分X的可能取值為0，1，2，3      …（5分）
$P（X=0）=P（{A_1}{A_2}）=\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$…（6分）
$P（X=1）=P（{B_1}{A_2}{A_3}）+P（{A_1}{B_2}{A_3}{A_4}）=\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{20}{81}$…（7分）$\begin{array}{l}P（X=2）=P（{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{B_2}{B_2}）+P（{A_1}{B_2}{A_3}{B_4}{A_5}）+P（{B_1}{A_2}{B_3}{A_4}{A_5}）\\=\frac{1}{3}•\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{61}{243}\end{array}$$P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=\frac{14}{243}$…（9分）
故$t=\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}（t＞1）$的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{61}{243}$	$\frac{14}{243}$

∴$EX=0×\frac{4}{9}+1×\frac{20}{81}+2×\frac{61}{243}+3×\frac{14}{243}=\frac{224}{243}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的求法，離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．