Question

15．已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當x＞0時，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，且當$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}]$時，n≤f（x）≤m恒成立，則m-n的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x∈[-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$]時，n≤f（x）≤m恒成立，可知當x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時，n≤f（x）≤m恒成立，求出當x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時，函數(shù)的值域，即可求得m-n的最小值．

解答 解：∵解：∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x∈[-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$]時，n≤f（x）≤m恒成立，
∴當x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時，n≤f（x）≤m恒成立，
∵當x＞0時，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$
令f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，可得x＞1，
∴函數(shù)在[1，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)增，
f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，0＜x＜1，
∴函數(shù)在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)減，
∵f（1）=2，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{13}{6}$
∴當x∈[2，3]時，函數(shù)的值域為[2，$\frac{5}{2}$]
∵當x∈[2，3]時，n≤f（x）≤m恒成立，
∴m-n的最小值是$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題重點考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性，學生分析解決問題的能力，利用導數(shù)求解對鉤函數(shù)的最值問題．屬于基礎題