Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{mx+n}{e^x}$（m，n∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點（1，f（x））處的切線方程為x+ey-3=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)n=-1，m∈R時，若對于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$都有f（x）≥x恒成立，求實數(shù)m的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)m=n=1時，設(shè)函數(shù)g（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x（t∈R），是否存在實數(shù)a，b∈[0，1]，使得2g（a）＜g（b）？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對于任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]都有f（x）≥x恒成立，等價于m≥e^x+$\frac{1}{x}$對于任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，求出函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)m的最小值；
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a，b∈[0，1]，使得2g（a）＜g（b），則2g（x）_min＜g（x）_max，研究g（x）在[0，1]上單調(diào)性，用t表示出g（x）在[0，1]上的最值，解相關(guān)的關(guān)于t的不等式求出范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{mx+n}{e^x}$，
∴f′（x）=$\frac{-mx+（m-n）}{{e}^{x}}$
∵函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+ey-3=0，
∴f（1）=$\frac{2}{e}$，f′（1）=-$\frac{1}{e}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+n}{e}=\frac{2}{e}}\\{\frac{-n}{e}=-\frac{1}{e}}\end{array}\right.$，∴m=1，n=1
∴f（x）=（x+1）e^-x，
∴f′（x）=-xe^-x，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
（Ⅱ）∵n=-1，m∈R，∴f（x）≥x，
∴（mx-1）e^-x≥x
即m≥e^x+$\frac{1}{x}$，
對于任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]都有f（x）≥x恒成立，等價于m≥e^x+$\frac{1}{x}$對于任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
記g（x）=e^x+$\frac{1}{x}$，
則g′（x）=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴h′（x）=e^x+$\frac{2}{{x}^{3}}$＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
∴h（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞增，
又h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-4＜0，h（2）=e²-$\frac{1}{4}$＞0，
∴g（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上有唯一的零點x₀，
∴當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，x₀）時，g′（x）＜0，x∈（x₀，2）時，g′（x）＞0，
∴g（x）的最大值是g（$\frac{1}{2}$）與g（2）中的較大的一個，
∵g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+2＜g（2）=e²+$\frac{1}{2}$，
∴m≥e²+$\frac{1}{2}$，
∴實數(shù)m的最小值為e²+$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a，b∈[0，1]，使得2g（a）＜g（b），則2g（x）_min＜g（x）_max，
∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x=$\frac{{x}^{2}+（1-t）x+1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{-（x-t）（x-1）}{{e}^{x}}$，
①當(dāng)t≥1時，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴2g（1）＜g（0），即2•$\frac{3-t}{e}$＜1，得t＞3-$\frac{e}{2}$＞1．
②當(dāng)t≤0時，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增．
∴2g（0）＜g（1），即2＜$\frac{3-t}{e}$，得t＜3-2e＜0，
③當(dāng)0＜t＜1時，
在x∈[0，t），g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上單調(diào)遞減
在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上單調(diào)遞增．
∴2g（t）＜max{ g（0），g（1）}，
即2•$\frac{t+1}{{e}^{t}}$＜max{ 1，$\frac{3-t}{e}$}（*）
由（Ⅰ）知，f（t）=2•$\frac{t+1}{{e}^{t}}$在[0，1]上單調(diào)遞減，
故2•$\frac{t+1}{{e}^{t}}$≥2•$\frac{2}{e}$=$\frac{4}{e}$，
∴所以不等式（*）無解，
綜上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-$\frac{e}{2}$，+∞），使命題成立．

點評 本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，其中將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解答此類問題的關(guān)鍵，屬于難題．