Question

2．某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查，在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，計算高三全體學生視力在5.0以下的人數(shù)，并估計這100名學生視力的中位數(shù)（精確到0.1）；
（Ⅱ）學習小組成員發(fā)現(xiàn)，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關系，對高三全體學生成績名次在前50名和后50名的學生進行了調查，得到如表1中數(shù)據(jù)，根據(jù)表1及臨界值表2中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系？
表一

年級名次 是否近視	前50名	后50名
近視	42	34
不近視	8	16

附：臨界值表2

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設公差為d，求出視力在5.0以下的頻率，即可估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；利用組中值估計這100名學生視力的中位數(shù)；
（Ⅱ）求出K²，與臨界值比較，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設公差為d，則0.2×（1.35+1.35+d+1.35+2d+1.35+3d+0.15+0.35）=1，∴d=-0.15，
∴后四組的頻率為0.27，0.24，0.21，0.18，
∴后四組頻數(shù)依次為27，24，21，18，
所以視力在5.0以下的頻數(shù)為3+7+27+24+21=82人，
故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為1000×$\frac{82}{100}$=820．
這100名學生視力的中位數(shù)4.1×0.15×0.2+4.3×0.35×0.2+4.4×0.27+4.5×0.24+4.6×0.21+4.7×0.18≈4.5
（Ⅱ）K²=$\frac{100×（42×16-8×34）^{2}}{50×50×76×24}$≈5.482＞3.841．
因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系．

點評 本題考查直方圖，考查獨立性檢驗的應用，考查學生的計算能力，比較基礎．