Question

20．已知矩形ABPD，點C為BP的中點，AD=2，AB=1，將△CDP沿CD折起成四棱錐P′-ABCD，其中∠AP′D=90°
（1）求證：AC⊥平面P′CD；
（2）求CD與平面AP′D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥CD和AC⊥P′D，即可證明AC⊥平面P′CD；
（2）找出CD與平面AP′D所成的角，利用等積法求出點C到平面AP′D的距離，即可求出CD與平面AP′D所成角的正弦值．

解答 解：（1）證明：矩形ABPD中，點C為BP的中點，AD=2，AB=1，
∴AC=DC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴AC⊥CD；
又∠AP′D=90°，∴P′D⊥AP′，
又P′D⊥P′C，且P′C∩P′A=P′，
AP′?平面ACP′，P′C?平面ACP′，
∴P′D⊥平面ACP′；
又AC?平面ACP′，
∴P′D⊥AC；
又P′D∩CD=D，P′D?平面P′CD，CD?平面P′CD，
∴AC⊥平面P′CD；
（2）如圖所示，

由（1）知，AC⊥平面CP′D，
AC?平面ACD，∴平面ACD⊥平面CP′D；
取CD的中點G，連接P′G，
則P′G⊥CD，
又平面ACD∩平面CP′D=CD，
P′G?平面CP′D，
∴P′G⊥平面ACD；
∴P′G=$\sqrt{{1}^{2}{-（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，；
設(shè)CH⊥平面AP′D，垂足為H，連接DH，則∠CDH為直線CD與平面AP′D所成的角，
由三棱錐的體積相等，得出
S_△AP′D•CH=S_△ACD•P′G，
即$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{3}$•CH=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得CH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴sin∠CDH=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即CD與平面AP′D所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)，以及直線與平面所成的角的應(yīng)用問題，求直線與平面所成的角時找角是關(guān)鍵，是中檔題目．