Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=5，S₅=3S₃-2．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=5，S₅=3S₃-2．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_3}={a_1}+2d=5}\\{5{a_1}+10d=3（3{a_1}+3d）-2}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=2}\end{array}}\right.$，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=2^a_n=2^2n-1，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{2（n+1）-1}}{{2}^{2n-1}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{{2}^{2n-1}}$=2²=4，b₁=2．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為4，首項(xiàng)為2．
∴${T_n}=\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{2}{3}（{4^n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．