Question

9．已知函數(shù)f（x）=x|x-m|（m∈R），g（x）=log_ax．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）≤2的解集恰好為（-∞，t]，求實數(shù)t的最大值；
（2）當m=0時，集合A={x|f（x）＜g（x）}，集合B=（0，$\frac{1}{2}$），且A⊆B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）易知t＞0，且可知當t取得最大值時，則m也取得最大值；從而轉(zhuǎn)化為求m的最大值，再求t；
（2）由題意得x²＜log_ax，從而討論可得$\frac{1}{2}$²≥log_a$\frac{1}{2}$，從而解得．

解答 解：（1）當x≤0時，f（x）=x|x-m|≤0，
故t＞0，
故t|t-m|=2，
∵t=m時，t|t-m|=0，
∴t＞m，
故t（t-m）=2，
故m=t-$\frac{2}{t}$，
故m=t-$\frac{2}{t}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故求t的最大值，則m也取得最大值；
而當m＞0時，f（x）=x|x-m|的圖象如下，
，
故$\frac{m}{2}$•$\frac{m}{2}$≤2，
故m≤2$\sqrt{2}$，
故當m=2$\sqrt{2}$時，
故t（t-2$\sqrt{2}$）≤2，
解得，2$\sqrt{2}$≤t≤2+$\sqrt{2}$，
故實數(shù)t的最大值為2+$\sqrt{2}$；
（2）由題意得，x|x|＜log_ax，
即x²＜log_ax，
∵x²＞0，且不等式的解集A⊆（0，$\frac{1}{2}$），
∴存在x∈（0，$\frac{1}{2}$），log_ax＞0，
故a＜1，
當0＜a＜1時，y=log_ax是減函數(shù)，而y=x²在（0，$\frac{1}{2}$）上是增函數(shù)，
故$\frac{1}{2}$²≥log_a$\frac{1}{2}$，
即0＜a≤$\frac{1}{16}$；
故a的取值范圍為（0，$\frac{1}{16}$]．

點評 本題考查了分類討論的思想應用及轉(zhuǎn)化思想的應用，同時考查了函數(shù)與不等式的關(guān)系應用．