Question

19．已知圓C的圓心在射線y=2x-3（x≥0），且與直線y=x+2和y=-x+4都相切．
（1）求圓C的方程；
（2）若P（x，y）是圓C上任意一點，求x+2y的最大值．

Answer 1

分析 （1）設C（x，2x-3）（x≥0），利用圓C與直線y=x+2和y=-x+4都相切，求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）設t=x+2y，則x+2y-t=0，利用圓心到直線的距離d=$\frac{|-1-t|}{\sqrt{5}}$≤2$\sqrt{2}$，即可求x+2y的最大值．

解答 解：（1）設C（x，2x-3）（x≥0），
∵圓C與直線y=x+2和y=-x+4都相切，
∴$\frac{|x-2x+3+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|x+2x-3-4|}{\sqrt{2}}$，
∵x≥0，∴x=1，
∴C（1，-1），r=2$\sqrt{2}$，
∴圓C的方程（x-1）²+（y+1）²=8；
（2）設t=x+2y，則x+2y-t=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-1-t|}{\sqrt{5}}$≤2$\sqrt{2}$，
∴-2$\sqrt{10}$-1≤t≤2$\sqrt{10}$+1
∴x+2y的最大值為2$\sqrt{10}$+1．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．