Question

已知集合是正整數(shù)的一個(gè)排列，函數(shù)

 

對(duì)于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出排列的生成列；

（Ⅱ）證明：若和為中兩個(gè)不同排列，則它們的生成列也不同；

（Ⅲ）對(duì)于中的排列，進(jìn)行如下操作：將排列從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個(gè)新的排列．證明：新的排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和至少增加．

Answer 1

（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，排列的生成列為．         

（Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．

從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個(gè)不同的項(xiàng)為與，即：，，，，．

顯然 ，，，，下面證明：．    

由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比大的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

由于排列的前項(xiàng)各不相同，設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．

同理，設(shè)排列中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．

因?yàn)?與是個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且，

所以 ， 從而 ．

所以排列和的生成列也不同．              

（Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以 ．            

依題意進(jìn)行操作，排列變?yōu)榕帕?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305354992681555.files/image298.gif'>，設(shè)該排列的生成列為．                                                   

所以

     

．

所以，新排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和至少增加．