Question

如圖，在長方體中,，點(diǎn)是棱AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) .

(Ⅰ)證明:；

(Ⅱ)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；         

(Ⅲ)線段的長為何值時(shí)，二面角的大小為.

 

Answer 1

解法一

(Ⅰ)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面，．     

(Ⅱ)等體積法

由已知條件可得，，，所以為等腰三角形，

=， ，設(shè)點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)可得，，即，

解得．

(Ⅲ)過點(diǎn)作于，連接．

因?yàn)?sub>平面，所以

，又，∩，所以平面，

故，為二面角的平面角，所以，，，，，由可得，．

解法二:以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè),則

 

(I)              因?yàn)?sub>  所以，即.

(II)          (II)因?yàn)?sub>為的中點(diǎn),則，從而,

,設(shè)平面的法向量為,則

也即,得, 設(shè)，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為

 

(Ⅲ)設(shè)平面的法向量,

∴

由     令,

∴

依題意

∴ (不合,舍去), .

∴時(shí),二面角的大小為