Question

在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)），若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，設(shè)M是圓C上任一點，連結(jié)OM并延長到Q，使|OM|=|MQ|．
（Ⅰ）求點Q軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與點Q軌跡相交于A，B兩點，點P的直角坐標為（0，2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得直角坐標方程：x²+y²=4x，設(shè)Q（x，y），則M(

x

2

，

y

2

)，
代入圓的方程即可得出．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程

x=- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）代入點Q的方程可得t2+(4+2

3

)t+4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|PA|+|PB|=|t₁+t₂|即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²=4x，配方為（x-2）²+y²=4，
設(shè)Q（x，y），則M(

x

2

，

y

2

)，
代入圓的方程可得(

x

2

-2)2+(

y

2

)2=4，
化為（x-4）²+y²=16．即為點Q的直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程

x=- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）代入（x-4）²+y²=16．
得t2+(4+2

3

)t+4=0
令A，B對應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，則t1+t2=-(4+2

3

)＜0，t₁t₂＞0．
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4+2

3

．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程、弦長公式，考查了計算能力，屬于中檔題．