Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n為{a_n}的前n項和，且a₁₀=19，S₁₀=100；數(shù)列{b_n}對任意n∈N^*，總有b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=a_n+2成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=（-1）ⁿ

4n•bn

(2n+1)2

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意和等差數(shù)列的前n項和公式求出公差，代入等差數(shù)列的通項公式化簡求出a_n，再化簡b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=a_n+2，可得當n≥2時b₁•b₂•b₃…b_n-1=2n-1，將兩個式子相除求出b_n；
（2）由（1）化簡c_n=（-1）ⁿ

4n•bn

(2n+1)2

，再對n分奇數(shù)和偶數(shù)討論，分別利用裂項相消法求出T_n，最后要用分段函數(shù)的形式表示出來．

解答： 解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，
則a₁₀=a₁+9d=19，S10=10a1+

10×9

2

×d=100，
解得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1，）
所以b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=2n+1…①
當n=1時，b₁=3，
當n≥2時，b₁•b₂•b₃…b_n-1=2n-1…②
①②兩式相除得bn=

2n+1

2n-1

(n≥2)
因為當n=1時，b₁=3適合上式，所以bn=

2n+1

2n-1

(n∈N*)．

（Ⅱ）由已知cn=(-1)n

4n•bn

(2n+1)2

，
得cn=(-1)n

4n

(2n-1)(2n+1)

=(-1)n(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
則T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=-(1+

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)-(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n(

1

2n-1

+

1

2n+1

)，
當n為偶數(shù)時，Tn=-(1+

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)-(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
=(-1-

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)+(-

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
=-1+

1

2n+1

=-

2n

2n+1

，
當n為奇數(shù)時，Tn=-(1+

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)-(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n(

1

2n-1

+

1

2n+1

)
=(-1-

1

3

)+(

1

3

+

1

5

)+(-

1

5

-

1

7

)+…+(-

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=-1-

1

2n+1

=-

2n+2

2n+1

．
綜上：Tn=

- 2n 2n+1 ，n為偶數(shù) - 2n+2 2n+1 ，n為奇數(shù)

．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，裂項相消法求數(shù)列的和，以及分類討論思想，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．