Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+1的導函數(shù)為f′（x），y=f′（x）的圖象如圖所示
（1）請寫出f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，試求函數(shù)f（x）的解析式，并求出函數(shù)f（x）的極值及取極值時的相應的x的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由y=f′（x）的圖象即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由圖可知x=1，x=2是函數(shù)的極值點，得

f′(1)=0 f′(2)=0

，聯(lián)立方程組求得b，c的值，即可得出函數(shù)的解析式，寫出函數(shù)的極值．

解答： 解：（1）由圖可知x＜1，或x＞2時f′（x）＞0，1＜＜2時，f′（x）＜0
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，2）．
（2）由圖可知x=1，x=2是函數(shù)的極值點，∵a=1
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∴

f′(1)=0 f′(2)=0

即

3+2b+c=0 12+4b+c=0

解得b=-

9

2

，c=6．
∴f（x）=3x³-

9

2

x²+6x+1，
∴當x=1時，函數(shù)有極大值為f（1）=

11

2

，當x=2時，函數(shù)有極小值為f（2）=19．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值等知識，屬于基礎題，應熟練掌握．