【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣ ﹣2lnx,a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,證明:f(x2)<x2﹣1.
【答案】
(1)解:函數(shù) 的定義域?yàn)椋?,+∞), ,
令f′(x)=0,得x2﹣2x+a=0,其判別式△=4﹣4a,
①當(dāng)△≤0,即a≥1時(shí),x2﹣2x+a≥0,f′(x)≥0,此時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當(dāng)△>0,即a<1時(shí),方程x2﹣2x+a=0的兩根為 , ,
若a≤0,則x1≤0,則x∈(0,x2)時(shí),f′(x)<0,x∈(x2,+∞)時(shí),f′(x)>0,
此時(shí),f(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增;
若a>0,則x1>0,則x∈(0,x1)時(shí),f′(x)>0,x∈(x1,x2)時(shí),f′(x)<0,x∈(x2,+∞)時(shí),f′(x)>0,
此時(shí),f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a≥1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)解:由(1)可知,函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,等價(jià)于方程x2﹣2x+a=0在(0,+∞)有
兩不等實(shí)根,故0<a<1.
(3)證明:由(1),(2)得0<a<1, ,且1<x2<2, . ,
令g(t)=t﹣2lnt﹣1,1<t<2,
則 ,
由于1<t<2,則g′(t)<0,故g(t)在(1,2)上單調(diào)遞減.
故g(t)<g(1)=1﹣2ln1﹣1=0.
∴f(x2)﹣x2+1=g(x2)<0.
∴f(x2)<x2﹣1.
【解析】(1)求出函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令f′(x)=0,①當(dāng)△≤0,②當(dāng)△>0,a<1時(shí),若a≤0,若a>0,分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),得到函數(shù)的單調(diào)性.當(dāng)0<a<1時(shí),(2)求出函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 等價(jià)于方程x2﹣2x+a=0在(0,+∞),直接推出結(jié)果.(3)通過(guò)(1),(2),推出0<a<1,構(gòu)造新函數(shù)g(t)=t﹣2lnt﹣1,1<t<2,利用新函數(shù)的單調(diào)性證明 求解即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與軸的非負(fù)半軸重合,且長(zhǎng)度單位相同,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線(為參數(shù)).其中.
(1)試寫出直線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程;
(2)若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列四個(gè)命題:
(1)“若,則,互為倒數(shù)”的逆命題;
(2)“面積相等的三角形全等”的否命題;
(3)“若,則有實(shí)數(shù)解”的逆否命題;
(4)“若,則”的逆否命題.
其中真命題為( )
A. (1)(2) B. (2)(3) C. (4) D. (1)(2)(3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形,∠A為直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=2.
(Ⅰ)求線段BC1的長(zhǎng)度;
(Ⅱ)異面直線BC1與DC所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=4,BE=2.
(Ⅰ)求證:CE∥平面PAD;
(Ⅱ)求PD與平面PCE所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱AB上是否存在一點(diǎn)F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求 的值;如果不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某養(yǎng)殖廠需定期購(gòu)買飼料,已知該廠每天需要飼料200 kg,每千克飼料的價(jià)格為1.8元,飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每千克每天0.03元,購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.
(1)該廠多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少?
(2)若提供飼料的公司規(guī)定:當(dāng)一次購(gòu)買飼料不少于5 t時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價(jià)的85%).該廠是否可以考慮利用此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知關(guān)于的不等式,其中.
(1)當(dāng)變化時(shí),試求不等式的解集;
(2)對(duì)于不等式的解集,若滿足(其中為整數(shù)集). 試探究集合能否為有限集?若 能,求出使得集合中元素個(gè)數(shù)最少的的所有取值,并用列舉法表示集合;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,直線l的方程為ρcos(θ﹣ )=2 .
(Ⅰ)求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程;
(Ⅱ)求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且sin(A﹣ )﹣cos(A+ )= .
(1)求角A的大;
(2)若a= ,sin2B+cos2C=1,求△ABC的面積.
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