Question

13．若函數(shù)f（x）=ax²+（a²+1）x-a（a＞0）的一個(gè)零點(diǎn)為x₀，則x₀的最大值為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 利用求根公式求出x₀，得出x₀關(guān)于a的函數(shù)，令t=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$，則將函數(shù)轉(zhuǎn)化為x₀關(guān)于t的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：解方程得x=$\frac{-{a}^{2}-1±\sqrt{（{a}^{2}+1）^{2}+4{a}^{2}}}{2a}$，
∴x₀=$\frac{-{a}^{2}-1+\sqrt{{a}^{4}+6{a}^{2}+1}}{2a}$=-（$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$）+$\sqrt{\frac{{a}^{4}+6{a}^{2}+1}{4{a}^{2}}}$=-（$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$）+$\sqrt{（\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}）^{2}+1}$，
令t=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$，則t≥2$\sqrt{\frac{1}{4}}$=1，x₀=-t+$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
設(shè)g（t）=-t+$\sqrt{{t}^{2}+1}$，則g′（t）=-1+$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{t-\sqrt{{t}^{2}+1}}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$＜0，
∴g（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（t）≤g（1）=$\sqrt{2}$-1，
∴x₀的最大值為$\sqrt{2}$-1，
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，換元法解題思想，屬于中檔題．