Question

3．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1，設(shè)橢圓C₂與橢圓C₁的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C₂的焦點(diǎn)在y軸上．
（1）求橢圓C₁的長半軸長、短半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；
（2）寫出橢圓C₂的方程，并研究其性質(zhì)．

Answer 1

分析 （1）可確定橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a=10，b=8，由a²=b²+c²，從而可求長半軸長、短半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率；
（2）由橢圓C₂的焦點(diǎn)在y軸上，求得C₂的方程，由橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)及離心率等性質(zhì)．

解答 解：（1）橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1，
∴焦點(diǎn)在x軸上，a=10，b=8，
由a²=b²+c²，
∴c=6，
故求橢圓C₁的長半軸長為10，短半軸長8，
焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-6，0），（6，0），離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$；
（2）由橢圓C₂與橢圓C₁的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C₂的焦點(diǎn)在y軸上，
$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
由（1）可知：a=10，b=8，
∴橢圓C₂的方程為：$\frac{{y}^{2}}{100}+\frac{{x}^{2}}{64}=1$，
∴①范圍：-8≤x≤8，-10≤y≤10；
②對(duì)稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；
③頂點(diǎn)：長軸端點(diǎn)（0，10），（0，-10），短軸端點(diǎn)（-8，0），（8，0）；
④焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，6），（0，-6）焦距2c=12，
⑤離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)橢圓方程求橢圓的簡單性質(zhì)，以及橢圓的性質(zhì)的運(yùn)用，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．