Question

8．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，M為ED中點(diǎn)．現(xiàn)以AD為一邊向外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD互相垂直，如圖2．

（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）求證：BC⊥平面BDE；
（3）求三棱錐D-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN，證明BN∥AM．說明BN?平面BEC，且AM?平面BEC，即可證明AM∥平面BEC；
（2）先證明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可證明BC⊥平面BDE；
（3）利用VE-BCD=VD-BCE，求出底面DCB的面積，高DE，即可求三棱錐D-BCE的體積．

解答 解：（1）證明：取EC中點(diǎn)N，M是EC的中點(diǎn)，連接MN，BN．
在△EDC中，∵M(jìn)，N分別為ED，EC的中點(diǎn)，
∴MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD．
由已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴MN∥AB，且MN=AB．         
∴四邊形ABNM為平行四邊形．
∴BN∥AM．
又∵BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
∴AM∥平面BEC；
（2）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=2．
在△BCD中，BD=BC=2，CD=2，∴BD²+BC²=CD²．
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面BDE；
（3）由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}$BD•BC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$=1，
又∵ED⊥平面ABCD，DE=1，
∴${V}_{E-BCD}={V}_{D-BCE}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•$DE=$\frac{1}{3}$•1•1=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面的平行與垂直的證明方法，幾何體的體積的解法，考查空間想象能力、計(jì)算能力，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，判定定理的正確應(yīng)用，是中檔題．