Question

19．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中$\overrightarrow{a}$=（2，1）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)；
（2）若|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)?\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，所以設(shè)$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$=（2λ，λ），再由|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，得到λ．
（2）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直得到數(shù)量積為0，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再由數(shù)量積公式求出向量的夾角θ．

解答 解：（1）因?yàn)閨$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，設(shè)$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$=（2λ，λ），則$|\overrightarrow{c}|$=$\sqrt{5{λ}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，解得λ=±3，
所以$\overrightarrow{c}$=（6，3）或（-6，-3）；
（2）因?yàn)閨$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，所以
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0 即2${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，∴2×5-2×$\frac{5}{4}$-3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$-\frac{5}{2}$…（10分）
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-1，又θ∈[0，π]，所以θ=π，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積判斷兩個(gè)平面垂直的條件的靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答