Question

13．變式：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 先證明n=2時(shí)，不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)，不等式也成立，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右邊=$\sqrt{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\sqrt{2}$，所以不等式成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞$\sqrt{k}$（k≥2，k∈N^*），
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，對(duì)于任意n∈N⁺時(shí)，不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．