Question

20．離心率為2的雙曲線E的一個焦點到一條漸近線的距離為1，則E的標準方程可以是（　�。�

• A． 3x²-y²=1
• B． $\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1
• C． x²-3y²=1
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 對照選項，可設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），運用離心率公式和點到直線的距離公式，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：可設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=2，
一個焦點（c，0）到一條漸近線y=$\frac{a}$x的距離為1，
可得$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=1，
又c²=a²+1，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}$-y²=1．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查雙曲線的漸近線方程和離心率，考查運算能力，屬于基礎題．