Question

5．過點(diǎn)（0，3b）的直線l與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條斜率為正值的漸近線平行，若雙曲線C的右支上的點(diǎn)到直線l的距離恒大于b，則雙曲線C的離心率的最大值是3．

Answer 1

分析 求出直線l的方程，利用雙曲線C的右支上的點(diǎn)到直線l的距離恒大于b，直線l與bx-ay=0的距離恒大于等于b，運(yùn)用平行直線的距離公式，建立不等式，即可求出雙曲線C的離心率的最大值．

解答 解：由雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
可得直線l的方程為y=$\frac{a}$x+3b，即bx-ay+3ab=0，
由雙曲線C的右支上的點(diǎn)到直線l的距離恒大于b，
可得直線l與bx-ay=0的距離恒大于等于b，
即有$\frac{3ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$≥b，
化簡(jiǎn)可得8a²≥b²，
8a²≥c²-a²，
即c²≤9a²，即有c≤3a，
可得離心率e=$\frac{c}{a}$≤3．
則離心率的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意雙曲線的漸近線的方程的靈活運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及運(yùn)算能力．