Question

甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為

2

3

，乙在每局中獲勝的概率為

1

3

，且各局勝負相互獨立，比賽停止時一共已打ξ局：
（Ⅰ）列出隨機變量ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的期望值Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值為2，4，6．設(shè)每兩局比賽為一輪，求出該輪結(jié)束時比賽停止的概率，由此能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）由ξ的分布列能求出Eξ．
法二：（Ⅰ）ξ的所有可能值為2，4，6．令A(yù)_k表示甲在第k局比賽中獲勝，

.

A

_k表示乙在第k局比賽中獲勝．由獨立性與互斥性能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）利用ξ的分布列能求出Eξ．

解答： 解法一：
（Ⅰ）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．
設(shè)每兩局比賽為一輪，
則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為（

2

3

）²+（

1

3

）²=

5

9

．…（4分）
若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，
此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．
則有P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=

4

9

•

5

9

=

20

81

，P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，…（7分）
∴ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

…（9分）
（Ⅱ）Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）
解法二：
（Ⅰ）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．
令A(yù)_k表示甲在第k局比賽中獲勝，則

.

A

_k表示乙在第k局比賽中獲勝．
由獨立性與互斥性得P（ξ=2）=P（A₁A₂）+P（

.

A

1

.

A

2）=

5

9

，…（2分）
P（ξ=4）=P（A1

.

A

2A3A4）+P（A1

.

A

2

.

A

3

.

A

4）+P（

.

A

1A2A3A4）+P（

.

A

1A2

.

A

3

.

A

4）
=2[（

2

3

）³（

1

3

）+（

1

3

）³（

2

3

）]=

20

81

，…（4分）
P（ξ=6）=P（A1

.

A

2A3

.

A

4）+P（A1

.

A

2

.

A

3A4）+P（

.

A

1A2A3

.

A

4）+P（

.

A

1A2

.

A

3A4）
=4（

2

3

）²（

1

3

）²=

16

81

，…（7分）
∴ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

…（9分）
（Ⅱ）Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．