Question

甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為

2

3

，乙在每局中獲勝的概率為

1

3

，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)一共已打ξ局：
（Ⅰ）列出隨機(jī)變量ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的期望值Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值為2，4，6．設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠�，求出該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率，由此能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）由ξ的分布列能求出Eξ．
法二：（Ⅰ）ξ的所有可能值為2，4，6．令A(yù)_k表示甲在第k局比賽中獲勝，

.

A

_k表示乙在第k局比賽中獲勝．由獨(dú)立性與互斥性能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）利用ξ的分布列能求出Eξ．

解答： 解法一：
（Ⅰ）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．
設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠啠?br />則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為（

2

3

）²+（

1

3

）²=

5

9

．…（4分）
若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，
此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．
則有P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=

4

9

•

5

9

=

20

81

，P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，…（7分）
∴ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

…（9分）
（Ⅱ）Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）
解法二：
（Ⅰ）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．
令A(yù)_k表示甲在第k局比賽中獲勝，則

.

A

_k表示乙在第k局比賽中獲勝．
由獨(dú)立性與互斥性得P（ξ=2）=P（A₁A₂）+P（

.

A

1

.

A

2）=

5

9

，…（2分）
P（ξ=4）=P（A1

.

A

2A3A4）+P（A1

.

A

2

.

A

3

.

A

4）+P（

.

A

1A2A3A4）+P（

.

A

1A2

.

A

3

.

A

4）
=2[（

2

3

）³（

1

3

）+（

1

3

）³（

2

3

）]=

20

81

，…（4分）
P（ξ=6）=P（A1

.

A

2A3

.

A

4）+P（A1

.

A

2

.

A

3A4）+P（

.

A

1A2A3

.

A

4）+P（

.

A

1A2

.

A

3A4）
=4（

2

3

）²（

1

3

）²=

16

81

，…（7分）
∴ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

…（9分）
（Ⅱ）Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．